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17:25｜2022年11月26日 20：00：00 投稿

青チャ－トでは、「eのマイナスｘ乗の指数関数」と「三角関数サインｘ」を掛け合わせた関数＝減衰曲線は、微分と積分で２回登場するが、微分ではコンパスマーク4つ、積分ではコンパスマ－ク 5つである。
コンパスマ―ク5つは青チャではめったにない重要例題だが、2つとも入試では頻出問題で、静高の校内テストでもしばしば登場した。
もっとも、後者の積分問題は正答率は極めて低く、学年で１人か２人くらいしか正答出来ないので最近では、静高校内テストにはあまり出題されない。
なぜ指数関数と三角関数の積なのか、という疑問は塾長も高校生の時に抱いたが、その理由は青チャ解答にも他の参考書にも一切説明されていない。
後で気が付いたが「完全な掟破り＝高校数学の範囲外」なので、沈黙を貫くしかなかったのだ。
この問題は「大学で学ぶ重要事項のフーリエ級数展開」の導入問題になっている。
指数関数は非周期関数だが、周期関数の三角関数と掛け合わせることによって、周期関数となる。
各周期の極大値極小値は等比数列になっていて、その無限等比級数は収束し、和を求める事が出来る。
この「極値と周期」という2つの数値は「周波数スペクトル」と呼ばれ、これをもとにフ―リエ級数展開する。
周期関数である三角関数は数Ⅱで学ぶ「振幅と角周波数＝周波数スペクトル」が表示されているので、すぐにフーリエ級数展開が出来るが、指数関数のような連続関数＝非周期関数はすぐにフーリエ級数展開出来ない。
そこで、強力な数学的テクニックを使ってそれを可能にするのが「フ―リエ変換」である。
これによって「三角関数以外の全ての関数も三角関数の積分」として表すことが出来る。
その応用範囲は極めて広く、放射線、光波、電磁波、さらには重力波にまで及ぶ。
フ―リエ級数は大学３年で学ぶのが一般的で、以前に紹介した「イプシロン.デルタ論法」を使わないといけない。
この2つの「大学で学ぶ重要事項」を前提にした問題が「大学に入るための入試問題」に頻出するのは、堂々たる「掟破り」だ。
だが、それでもどうしても意欲ある高校生や受験生に事前に学んでおいてほしいという「親心」から青チャは掲載している、と好意的に理解している。
難関大学では確信犯的に「大学内容の数学」を出すので、背伸びして挑戦しようという意図だ。
ということでテスト後の積分では、ぜひこの問題をやりましょう！！